Penyelesaian Soal Aljabar CJ Alders: Sub Bab 36 – Ulangan

Matematika SMA·

Soal 9 — Persamaan Kuadrat dengan Akar-Akar yang Sama

SOAL

Persamaan-persamaan berikut mempunyai akar-akar yang sama. Hitunglah nilai \(a\) dan \(b\)!

\[ x^2-ax+b=0 \]
\[ 2x^2+bx-a=3 \]

Langkah 1 — Ubah ke Bentuk Standar

Persamaan pertama sudah berbentuk standar:

\[ x^2-ax+b=0 \tag{1} \]

Persamaan kedua diubah dengan memindahkan angka 3 ke ruas kiri:

\[ 2x^2+bx-a-3=0 \tag{2} \]

Langkah 2 — Gunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Untuk persamaan kuadrat umum \(Ax^2+Bx+C=0\), berlaku rumus:

\[ x_1+x_2=-\frac{B}{A} \] \[ x_1x_2=\frac{C}{A} \]

Dari persamaan (1):

Jumlah akar:

\[ x_1+x_2=-\frac{-a}{1}=a \]

Hasil kali akar:

\[ x_1x_2=\frac{b}{1}=b \]

Dari persamaan (2):

Jumlah akar:

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{2} \]

Hasil kali akar:

\[ x_1x_2=-\frac{a+3}{2} \]
Prinsip penting: Karena kedua persamaan mempunyai akar-akar yang sama, jumlah akar dan hasil kali akarnya juga harus sama.

Langkah 3 — Samakan Jumlah Akar

Samakan jumlah akar kedua persamaan:

\[ a=-\frac{b}{2} \] \[ 2a=-b \] \[ \boxed{b=-2a} \tag{3} \]

Persamaan (3) menunjukkan hubungan antara \(a\) dan \(b\). Selanjutnya, hubungan ini digunakan untuk menentukan nilai keduanya.

Langkah 4 — Samakan Hasil Kali Akar

Samakan hasil kali akar kedua persamaan:

\[ b=-\frac{a+3}{2} \] \[ 2b=-a-3 \]

Substitusikan \(b=-2a\) dari persamaan (3):

\[ 2(-2a)=-a-3 \] \[ -4a=-a-3 \] \[ -4a+a=-3 \] \[ -3a=-3 \] \[ \boxed{a=1} \]

Langkah 5 — Tentukan Nilai \(b\)

Gunakan kembali persamaan (3):

\[ b=-2a \] \[ b=-2(1) \] \[ \boxed{b=-2} \]

Jawaban Akhir

Jadi, nilai parameter yang memenuhi kedua persamaan adalah:

\[ \boxed{a=1,\qquad b=-2} \]

Pemeriksaan Jawaban

Untuk memastikan hasilnya benar, substitusikan \(a=1\) dan \(b=-2\) ke kedua persamaan.

Baca Juga  Penyelesaian Soal-soal Aljabar CJ Alders: 36 Ulangan Soal 13

1. Persamaan pertama

\[ x^2-x-2=0 \] \[ (x-2)(x+1)=0 \]

Diperoleh akar-akar:

\[ x_1=2,\qquad x_2=-1 \]

2. Persamaan kedua

\[ 2x^2-2x-1=3 \] \[ 2x^2-2x-4=0 \] \[ x^2-x-2=0 \] \[ (x-2)(x+1)=0 \]

Diperoleh akar-akar yang sama:

\[ x_1=2,\qquad x_2=-1 \]

Terbukti! Kedua persamaan memiliki akar-akar yang sama, yaitu 2 dan −1. Dengan demikian, \(a=1\) dan \(b=-2\) merupakan jawaban yang benar.

Pos Terkait

  • Penyelesaian Soal-soal Aljabar CJ Alders: 36 Ulangan Soal 11

    Penyelesaian Soal Persamaan Kuadrat: Menentukan Parameter dan Akar Lainnya SOAL Salah satu akar persamaan \(x^2+2ax+2a=1\) adalah \(x=5\). Hitunglah nilai \(a\) dan akar yang lain! \[ x^2+2ax+2a=1 \] Langkah 1 — Tentukan Nilai \(a\) Diketahui bahwa salah satu akar persamaan adalah \(x=5\). Untuk menentukan nilai \(a\), substitusikan \(x=5\) ke dalam persamaan awal. \[ x^2+2ax+2a=1 \] \[ …

  • Penyelesaian Soal-soal Aljabar CJ Alders: 36 Ulangan Soal 10

    Penyelesaian Soal: Tiga Bilangan Bulat Berurutan pada Segitiga Siku-Siku SOAL Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku merupakan 3 bilangan bulat yang berurutan. Hitunglah bilangan-bilangan tersebut! Langkah 1 — Misalkan Panjang Sisi-Sisinya Karena ketiga sisi merupakan bilangan bulat berurutan, misalkan panjang sisi-sisinya adalah: \[ x,\quad x+1,\quad x+2 \] Sisi terpanjang adalah \(x+2\). Pada segitiga siku-siku, sisi terpanjang …

  • Penyelesaian Soal-Soal Aljabar CJ Alders: 36 – Ulangan

    MATEMATIKA SMA · GEOMETRI ANALITIK Persamaan Garis dan Panjang Sisi Segitiga ABC Pembahasan lengkap menentukan persamaan ketiga sisi segitiga dan menghitung panjang setiap sisi menggunakan koordinat Kartesius. Soal 1 Diketahui sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut sebagai berikut: A(0, 1) B(3, 4) C(3, −1) Tentukan: Persamaan garis sisi AB, BC, dan CA. Panjang sisi …

  • Soal Penyelesaian Aljabar CJ Alders: Sistem Persamaan, Soal 110 – 125

    Soal Penyelesaian Aljabar CJ Alders: Sistem Persamaan, Soal 110 – 125

    MATEMATIKA · PEMBAHASAN Soal Nomor 110 Sistem persamaan dua variabel · Metode substitusi dan grafik 1 Diketahui Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut. [math]\begin{array}{l} x=2y\\ x^2+2y^2=36 \end{array}[/math] 2 Menentukan Nilai y Dari persamaan pertama, diperoleh: [math]\begin{array}{l} x=2y \end{array}[/math] Substitusikan x = 2y ke persamaan kedua. [math]\begin{array}{l} x^2+2y^2=36\\ (2y)^2+2y^2=36\\ 4y^2+2y^2=36\\ 6y^2=36\\ y^2=\dfrac{36}{6}\\ …

  • Aljabar CJ Alders: Dalil Sisa

    Soal 1 — Menentukan Sisa Pembagian dengan Teorema Sisa SOAL 1 Tentukan sisa pembagian polinomial berikut: \[ (3x^5-5x-6):(x-1) \] Langkah 1 — Pahami Teorema Sisa Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suatu polinomial \(f(x)\) dibagi oleh \(x-a\), maka sisa pembagiannya adalah \(f(a)\). \[ \boxed{\text{Sisa}=f(a)} \] Pada soal ini, polinomial yang akan dibagi adalah: \[ f(x)=3x^5-5x-6 \] …

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Copyright © 2026 Belajar... Tumbuh... Berbagi
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x