Soal Penyelesaian Aljabar CJ Alders: Sistem Persamaan, Soal 110 - 125

MATEMATIKA · PEMBAHASAN

Soal Nomor 110

Sistem persamaan dua variabel · Metode substitusi dan grafik

1 Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.

[math]\begin{array}{l} x=2y\\ x^2+2y^2=36 \end{array}[/math]

2 Menentukan Nilai y

Dari persamaan pertama, diperoleh:

[math]\begin{array}{l} x=2y \end{array}[/math]

Substitusikan x = 2y ke persamaan kedua.

[math]\begin{array}{l} x^2+2y^2=36\\ (2y)^2+2y^2=36\\ 4y^2+2y^2=36\\ 6y^2=36\\ y^2=\dfrac{36}{6}\\ y^2=6 \end{array}[/math]

Ambil akar kuadrat kedua ruas.

[math]\begin{array}{l} y=\sqrt{6}\\ \text{atau}\\ y=-\sqrt{6} \end{array}[/math]

3 Menentukan Nilai x

Gunakan kembali persamaan x = 2y.

Kemungkinan pertama: y = √6

[math]\begin{array}{l} x=2y\\ x=2\sqrt{6} \end{array}[/math]

Pasangan pertama:

[math]\begin{array}{l} (x,y)=(2\sqrt{6},\sqrt{6}) \end{array}[/math]

Kemungkinan kedua: y = −√6

[math]\begin{array}{l} x=2y\\ x=2(-\sqrt{6})\\ x=-2\sqrt{6} \end{array}[/math]

Pasangan kedua:

[math]\begin{array}{l} (x,y)=(-2\sqrt{6},-\sqrt{6}) \end{array}[/math]

4 Ilustrasi Grafik

Persamaan pertama merupakan garis lurus:

[math]\begin{array}{l} x=2y\\ y=\dfrac{x}{2} \end{array}[/math]

Persamaan kedua merupakan elips berpusat di titik asal:

[math]\begin{array}{l} x^2+2y^2=36\\ \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{18}=1 \end{array}[/math]

Garis x = 2y

Elips x² + 2y² = 36

Titik penyelesaian

Cara membaca grafik: garis lurus memotong elips di dua titik. Kedua titik tersebut mewakili pasangan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan.

Secara grafis, titik potongnya adalah:

[math]\begin{array}{l} A=(2\sqrt{6},\sqrt{6})\\ B=(-2\sqrt{6},-\sqrt{6}) \end{array}[/math]

Kesimpulan

Himpunan penyelesaian soal nomor 110 adalah:

[math]\boxed{\begin{array}{l} (x,y)=(2\sqrt{6},\sqrt{6})\\ \text{atau}\\ (x,y)=(-2\sqrt{6},-\sqrt{6}) \end{array}}[/math]

Jadi, terdapat dua pasang penyelesaian. Secara grafis, keduanya merupakan titik potong garis lurus dengan elips.

MATEMATIKA · PEMBAHASAN

Soal Nomor 111

Sistem persamaan dua variabel dan penyelesaian secara grafis

1 Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.

[math]\begin{array}{l} x+y=7\\ x^2+y^2=29 \end{array}[/math]

2 Menentukan Nilai x dan y

Dari persamaan pertama:

[math]\begin{array}{l} x+y=7 \end{array}[/math]

Gunakan identitas aljabar berikut:

[math]\begin{array}{l} (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \end{array}[/math]

Kuadratkan kedua ruas persamaan pertama.

[math]\begin{array}{l} (x+y)^2=7^2\\ x^2+2xy+y^2=49 \end{array}[/math]

Karena x² + y² = 29, substitusikan nilai tersebut.

[math]\begin{array}{l} 29+2xy=49\\ 2xy=49-29\\ 2xy=20\\ xy=10 \end{array}[/math]

Sekarang kita memiliki dua persamaan:

[math]\begin{array}{l} x+y=7\\ xy=10 \end{array}[/math]

Dari persamaan pertama, nyatakan x dalam y.

[math]\begin{array}{l} x=7-y \end{array}[/math]

Substitusikan ke persamaan xy = 10.

[math]\begin{array}{l} (7-y)y=10\\ 7y-y^2=10\\ y^2-7y+10=0\\ (y-2)(y-5)=0 \end{array}[/math]

Maka diperoleh:

[math]\begin{array}{l} y=2\quad\text{atau}\quad y=5 \end{array}[/math]

Jika y = 2, maka x = 5. Jika y = 5, maka x = 2.

[math]\begin{array}{l} (x,y)=(5,2)\\ (x,y)=(2,5) \end{array}[/math]

3 Ilustrasi Grafik

Penyelesaian juga dapat dilihat melalui titik potong dua grafik berikut:

[math]\begin{array}{ll} \text{Garis lurus:} & x+y=7\\ \text{Lingkaran:} & x^2+y^2=29 \end{array}[/math]

Garis x + y = 7

Lingkaran x² + y² = 29

Titik penyelesaian

Cara membaca grafik: titik potong garis lurus dan lingkaran menunjukkan pasangan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

Kedua titik potong tersebut adalah:

[math]\begin{array}{l} (x,y)=(2,5)\\ (x,y)=(5,2) \end{array}[/math]

Kesimpulan

Himpunan penyelesaian soal nomor 111 adalah:

[math]\boxed{\begin{array}{l} (x,y)=(5,2)\\ \text{atau}\\ (x,y)=(2,5) \end{array}}[/math]

Jadi, terdapat dua pasang penyelesaian. Secara grafis, keduanya merupakan titik potong garis lurus dengan lingkaran.

MATEMATIKA · PEMBAHASAN

Soal Nomor 112

Sistem persamaan dua variabel · Metode substitusi dan grafik

1 Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.

[math]\begin{array}{l} x+2y=5\\ x^2-xy+y^2=3 \end{array}[/math]

2 Menyatakan x dalam y

Dari persamaan pertama:

[math]\begin{array}{l} x+2y=5\\ x=5-2y \end{array}[/math]

Substitusikan x = 5 − 2y ke persamaan kedua.

[math]\begin{array}{l} x^2-xy+y^2=3\\ (5-2y)^2-(5-2y)y+y^2=3\\ 25-20y+4y^2-5y+2y^2+y^2=3\\ 7y^2-25y+25=3\\ 7y^2-25y+22=0 \end{array}[/math]

3 Menentukan Nilai y

Faktorkan persamaan kuadrat berikut.

[math]\begin{array}{l} 7y^2-25y+22=0\\ (7y-11)(y-2)=0 \end{array}[/math]

Maka:

[math]\begin{array}{l} 7y-11=0\quad\text{atau}\quad y-2=0\\ y=\dfrac{11}{7}\quad\text{atau}\quad y=2 \end{array}[/math]

4 Menentukan Nilai x

Gunakan kembali persamaan x = 5 − 2y.

Kemungkinan pertama: y = 11/7

[math]\begin{array}{l} x=5-2\left(\dfrac{11}{7}\right)\\ x=\dfrac{35}{7}-\dfrac{22}{7}\\ x=\dfrac{13}{7} \end{array}[/math]

Pasangan pertama:

[math]\begin{array}{l} (x,y)=\left(\dfrac{13}{7},\dfrac{11}{7}\right) \end{array}[/math]

Kemungkinan kedua: y = 2

[math]\begin{array}{l} x=5-2(2)\\ x=5-4\\ x=1 \end{array}[/math]

Pasangan kedua:

[math]\begin{array}{l} (x,y)=(1,2) \end{array}[/math]

5 Ilustrasi Grafik

Persamaan pertama merupakan garis lurus:

[math]\begin{array}{l} x+2y=5\\ y=\dfrac{5-x}{2} \end{array}[/math]

Persamaan kedua merupakan elips:

[math]\begin{array}{l} x^2-xy+y^2=3 \end{array}[/math]

Garis x + 2y = 5

Elips x² − xy + y² = 3

Titik penyelesaian

Cara membaca grafik: titik potong garis lurus dan elips menunjukkan pasangan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan.

[math]\begin{array}{l} A=(1,2)\\ B=\left(\dfrac{13}{7},\dfrac{11}{7}\right) \end{array}[/math]

Kesimpulan

Himpunan penyelesaian soal nomor 112 adalah:

[math]\boxed{\begin{array}{l} (x,y)=(1,2)\\ \text{atau}\\ (x,y)=\left(\dfrac{13}{7},\dfrac{11}{7}\right) \end{array}}[/math]

Jadi, terdapat dua pasang penyelesaian yang merupakan titik potong garis lurus dan elips.

Penyelesaian Soal 113

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Substitusi

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x-2y&=&2\\ x^2-xy+y^2&=&13 \end{array}[/math]

Kita akan menggunakan metode substitusi. Caranya adalah menyatakan salah satu variabel dalam variabel lainnya, kemudian memasukkannya ke persamaan kedua.

2. Nyatakan x dalam y

Gunakan persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x-2y&=&2\\ x&=&2+2y \end{array}[/math]

Jadi, kita memperoleh persamaan:

[math]x=2+2y[/math]

3. Substitusikan ke persamaan kedua

Persamaan kedua yang diketahui adalah:

[math]x^2-xy+y^2=13[/math]

Dari langkah sebelumnya, kita telah memperoleh persamaan x = 2 + 2y. Selanjutnya, substitusikan bentuk tersebut ke setiap variabel x pada persamaan kedua.

[math]\begin{array}{rcl} (2+2y)^2-(2+2y)y+y^2&=&13\\[5pt] 4+8y+4y^2-2y-2y^2+y^2&=&13\\[5pt] 3y^2+6y+4&=&13\\[5pt] 3y^2+6y-9&=&0 \end{array}[/math]

Setelah suku-suku sejenis disederhanakan, kita memperoleh persamaan kuadrat. Bagi kedua ruas dengan 3:

[math]\begin{array}{rcl} 3y^2+6y-9&=&0\\[5pt] y^2+2y-3&=&0 \end{array}[/math]

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

[math]\begin{array}{rcl} (y+3)(y-1)&=&0\\[5pt] y+3=0&\quad\text{atau}\quad&y-1=0\\[5pt] y&=&-3\quad\text{atau}\quad y=1 \end{array}[/math]

Dengan demikian, terdapat dua kemungkinan nilai y, yaitu y = −3 atau y = 1.

4. Tentukan nilai x

Kemungkinan pertama: y = 1

Gunakan kembali persamaan x = 2 + 2y:

[math]\begin{array}{rcl} x&=&2+2y\\[5pt] x&=&2+2(1)\\[5pt] x&=&4 \end{array}[/math]

Jadi, pasangan pertama adalah (4, 1).

Kemungkinan kedua: y = −3

[math]\begin{array}{rcl} x&=&2+2y\\[5pt] x&=&2+2(-3)\\[5pt] x&=&-4 \end{array}[/math]

Jadi, pasangan kedua adalah (−4, −3).

5. Periksa jawaban

Pemeriksaan pasangan pertama: (4, 1)

Persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x-2y&=&4-2(1)\\ &=&2 \end{array}[/math]

Persamaan kedua:

[math]\begin{array}{rcl} x^2-xy+y^2&=&4^2-(4)(1)+1^2\\[5pt] &=&16-4+1\\[5pt] &=&13 \end{array}[/math]

Kedua persamaan terpenuhi.

Pemeriksaan pasangan kedua: (−4, −3)

Persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x-2y&=&-4-2(-3)\\ &=&2 \end{array}[/math]

Persamaan kedua:

[math]\begin{array}{rcl} x^2-xy+y^2&=&(-4)^2-(-4)(-3)+(-3)^2\\[5pt] &=&16-12+9\\[5pt] &=&13 \end{array}[/math]

Kedua persamaan juga terpenuhi.

6. Grafik kedua persamaan

Untuk menggambar grafik, ubah persamaan pertama menjadi bentuk y sebagai fungsi x:

[math]\begin{array}{rcl} x-2y&=&2\\ -2y&=&2-x\\ y&=&\\frac{x}{2}-1 \end{array}[/math]

Persamaan pertama menghasilkan garis lurus, sedangkan persamaan kedua menghasilkan elips.

[math]x^2-xy+y^2=13[/math]

Garis x − 2y = 2 Elips x² − xy + y² = 13 Titik penyelesaian

Titik perpotongan grafik garis dan elips menunjukkan pasangan nilai yang memenuhi kedua persamaan.

Kesimpulan

Kedua pasangan nilai yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah:

[math]\boxed{(x,y)=(4,1)\quad\text{atau}\quad(-4,-3)}[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 1), (−4, −3)}.

Penyelesaian Soal 114

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Substitusi

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&5\\ x^2-y^2&=&45 \end{array}[/math]

Kita akan menggunakan metode substitusi dengan memanfaatkan persamaan pertama untuk menentukan salah satu variabel.

2. Nyatakan x dalam y

Gunakan persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&5\\ x&=&5+y \end{array}[/math]

Jadi, kita memperoleh:

[math]x=5+y[/math]

3. Substitusikan ke persamaan kedua

Persamaan kedua adalah:

[math]x^2-y^2=45[/math]

Ganti x dengan bentuk yang telah diperoleh, yaitu x = 5 + y.

[math]\begin{array}{rcl} (5+y)^2-y^2&=&45\\[5pt] 25+10y+y^2-y^2&=&45\\[5pt] 25+10y&=&45\\[5pt] 10y&=&20\\[5pt] y&=&2 \end{array}[/math]

Suku y kuadrat saling menghilangkan. Karena itu, persamaan yang semula berbentuk kuadrat menjadi persamaan linear yang lebih sederhana.

4. Tentukan nilai x

Substitusikan nilai y = 2 ke persamaan x = 5 + y.

[math]\begin{array}{rcl} x&=&5+y\\[5pt] x&=&5+2\\[5pt] x&=&7 \end{array}[/math]

Dengan demikian, kita memperoleh x = 7 dan y = 2.

5. Periksa jawaban

Persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&7-2\\ &=&5 \end{array}[/math]

Persamaan kedua:

[math]\begin{array}{rcl} x^2-y^2&=&7^2-2^2\\[5pt] &=&49-4\\[5pt] &=&45 \end{array}[/math]

Kedua persamaan terpenuhi. Jadi, jawaban yang diperoleh sudah benar.

6. Grafik kedua persamaan

Persamaan pertama merupakan garis lurus yang dapat ditulis:

[math]y=x-5[/math]

Persamaan kedua dapat ditulis sebagai:

[math]y^2=x^2-45[/math]

Grafik persamaan kedua berupa hiperbola. Titik potong kedua grafik menunjukkan penyelesaian sistem persamaan.

Garis x − y = 5 Hiperbola x² − y² = 45 Titik penyelesaian

Catatan: grafik bersifat ilustratif. Titik penyelesaian yang diperoleh melalui perhitungan adalah (7, 2).

Kesimpulan

Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan adalah:

[math]\boxed{x=7,\qquad y=2}[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7, 2)}.

Penyelesaian Soal 115

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Substitusi

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&4\\ 3x^2-4xy+5y^2&=&4 \end{array}[/math]

Kita akan menyelesaikan sistem persamaan ini menggunakan metode substitusi. Pertama, nyatakan x dalam y, kemudian masukkan hasilnya ke persamaan kedua.

2. Nyatakan x dalam y

Gunakan persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&4\\ x&=&4-3y \end{array}[/math]

Jadi, kita memperoleh:

[math]x=4-3y[/math]

3. Substitusikan ke persamaan kedua

Persamaan kedua adalah:

[math]3x^2-4xy+5y^2=4[/math]

Ganti x dengan bentuk yang telah diperoleh, yaitu x = 4 − 3y.

[math]\begin{array}{rcl} 3(4-3y)^2-4(4-3y)y+5y^2&=&4\\[5pt] 3(16-24y+9y^2)-16y+12y^2+5y^2&=&4\\[5pt] 48-72y+27y^2-16y+12y^2+5y^2&=&4\\[5pt] 44y^2-88y+48&=&4\\[5pt] 44y^2-88y+44&=&0 \end{array}[/math]

Semua suku di ruas kiri memiliki faktor 44. Bagi kedua ruas dengan 44:

[math]y^2-2y+1=0[/math]

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

[math]\begin{array}{rcl} (y-1)^2&=&0\\[5pt] y-1&=&0\\[5pt] y&=&1 \end{array}[/math]

Jadi, hanya ada satu nilai y yang memenuhi, yaitu y = 1.

Perhatikan bahwa akar persamaan kuadrat ini merupakan akar kembar karena faktor yang diperoleh sama.

4. Tentukan nilai x

Substitusikan y = 1 ke persamaan x = 4 − 3y.

[math]\begin{array}{rcl} x&=&4-3y\\[5pt] x&=&4-3(1)\\[5pt] x&=&1 \end{array}[/math]

Dengan demikian, diperoleh x = 1 dan y = 1.

5. Periksa jawaban

Pemeriksaan persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&1+3(1)\\ &=&4 \end{array}[/math]

Pemeriksaan persamaan kedua:

[math]\begin{array}{rcl} 3x^2-4xy+5y^2 &=&3(1)^2-4(1)(1)+5(1)^2\\[5pt] &=&3-4+5\\[5pt] &=&4 \end{array}[/math]

Kedua persamaan terpenuhi. Jadi, pasangan (1, 1) merupakan penyelesaian yang benar.

6. Grafik kedua persamaan

Persamaan pertama dapat ditulis sebagai garis lurus:

[math]y=\frac{4-x}{3}[/math]

Persamaan kedua merupakan sebuah elips:

[math]3x^2-4xy+5y^2=4[/math]

Garis x + 3y = 4 Elips 3x² − 4xy + 5y² = 4 Titik singgung

Grafik menunjukkan garis menyinggung elips tepat di titik (1, 1). Karena hanya ada satu titik persekutuan, sistem persamaan ini mempunyai satu pasangan penyelesaian.

Kesimpulan

Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan adalah:

[math]\boxed{x=1,\qquad y=1}[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1)}.

Penyelesaian Soal 116

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Pemisahan Kasus

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} (x+y)(x-2y)&=&0\\ xy&=&8 \end{array}[/math]

Karena perkalian dua faktor sama dengan nol, setidaknya salah satu faktor harus bernilai nol. Oleh karena itu, kita akan memeriksa dua kemungkinan secara terpisah.

2. Kemungkinan pertama: x + y = 0

Dari faktor pertama, kita memperoleh:

[math]\begin{array}{rcl} x+y&=&0\\ x&=&-y \end{array}[/math]

Substitusikan x = −y ke persamaan kedua, yaitu xy = 8.

[math]\begin{array}{rcl} xy&=&8\\[5pt] (-y)y&=&8\\[5pt] -y^2&=&8\\[5pt] y^2&=&-8 \end{array}[/math]

Dalam bilangan real, kuadrat suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Jadi, persamaan y² = −8 tidak mempunyai penyelesaian real.

[math]\boxed{\text{Tidak ada penyelesaian real}}[/math]

Dengan demikian, kemungkinan pertama tidak menghasilkan pasangan penyelesaian dalam bilangan real.

3. Kemungkinan kedua: x − 2y = 0

Dari faktor kedua, kita memperoleh:

[math]\begin{array}{rcl} x-2y&=&0\\ x&=&2y \end{array}[/math]

Substitusikan x = 2y ke persamaan xy = 8.

[math]\begin{array}{rcl} xy&=&8\\[5pt] (2y)y&=&8\\[5pt] 2y^2&=&8\\[5pt] y^2&=&4\\[5pt] y&=&\pm 2 \end{array}[/math]

Jadi, terdapat dua kemungkinan nilai y, yaitu y = 2 atau y = −2.

4. Tentukan nilai x

Kemungkinan pertama: y = 2

[math]\begin{array}{rcl} x&=&2y\\ x&=&2(2)\\ x&=&4 \end{array}[/math]

Pasangan pertama adalah (4, 2).

Kemungkinan kedua: y = −2

[math]\begin{array}{rcl} x&=&2y\\ x&=&2(-2)\\ x&=&-4 \end{array}[/math]

Pasangan kedua adalah (−4, −2).

5. Periksa jawaban

Pemeriksaan pasangan (4, 2):

[math]\begin{array}{rcl} (x+y)(x-2y)&=&(4+2)(4-2(2))\\[5pt] &=&6(0)\\ &=&0 \end{array}[/math]

[math]xy=(4)(2)=8[/math]

Kedua persamaan terpenuhi.

Pemeriksaan pasangan (−4, −2):

[math]\begin{array}{rcl} (x+y)(x-2y)&=&(-4-2)(-4-2(-2))\\[5pt] &=&(-6)(0)\\ &=&0 \end{array}[/math]

[math]xy=(-4)(-2)=8[/math]

Kedua persamaan juga terpenuhi.

6. Grafik kedua persamaan

Persamaan pertama merupakan gabungan dua garis lurus. Sebab, jika hasil kali dua faktor sama dengan nol, salah satu faktornya harus nol.

[math]\begin{array}{rcl} x+y=0&\Rightarrow&y=-x\\[5pt] x-2y=0&\Rightarrow&y=\frac{x}{2} \end{array}[/math]

Persamaan kedua dapat ditulis:

[math]xy=8[/math]

Persamaan xy = 8 membentuk hiperbola dengan cabang di kuadran I dan III. Kedua titik potong dengan garis y = x/2 merupakan penyelesaian sistem persamaan.

Garis y = −x Garis y = x/2 Hiperbola xy = 8 Titik penyelesaian

Garis y = −x tidak berpotongan dengan hiperbola xy = 8 dalam bilangan real. Garis y = x/2 berpotongan dengan hiperbola di dua titik, yaitu (4, 2) dan (−4, −2).

Kesimpulan

Pasangan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan adalah:

[math]\boxed{(x,y)=(4,2)\quad\text{atau}\quad(-4,-2)}[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 2), (−4, −2)}.

Penyelesaian Soal 117

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Faktorisasi

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x^2-2xy+y^2&=&1\\ 4x^2-3xy-y^2&=&9 \end{array}[/math]

Perhatikan bahwa persamaan pertama memiliki bentuk kuadrat sempurna. Kita dapat mengubahnya menjadi perkalian dua faktor agar penyelesaiannya lebih mudah.

2. Faktorkan persamaan pertama

Persamaan pertama adalah:

[math]x^2-2xy+y^2=1[/math]

Ruas kiri merupakan bentuk kuadrat sempurna, sehingga dapat ditulis sebagai:

[math](x-y)^2=1[/math]

Ambil akar kuadrat kedua ruas. Karena kuadrat suatu bilangan bernilai 1 jika bilangannya 1 atau −1, maka diperoleh dua kemungkinan:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\[5pt] \text{atau}\\[5pt] x-y&=&-1 \end{array}[/math]

Artinya, kita harus memeriksa dua kasus untuk mendapatkan seluruh pasangan penyelesaian.

3. Faktorkan persamaan kedua

Persamaan kedua adalah:

[math]4x^2-3xy-y^2=9[/math]

Bentuk kuadrat tersebut dapat difaktorkan menjadi:

[math](x-y)(4x+y)=9[/math]

Periksa hasil perkaliannya untuk memastikan:

[math]\begin{array}{rcl} (x-y)(4x+y)&=&9\\[5pt] 4x^2+xy-4xy-y^2&=&9\\[5pt] 4x^2-3xy-y^2&=&9 \end{array}[/math]

Sekarang kedua persamaan dapat diselesaikan melalui dua kasus berdasarkan nilai x − y.

4. Kasus pertama: x − y = 1

Dari persamaan kedua yang sudah difaktorkan, kita memperoleh:

[math](x-y)(4x+y)=9[/math]

Karena x − y = 1, substitusikan nilai tersebut:

[math]\begin{array}{rcl} 1(4x+y)&=&9\\ 4x+y&=&9 \end{array}[/math]

Sekarang kita memiliki dua persamaan linear:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\ 4x+y&=&9 \end{array}[/math]

Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan y:

[math]\begin{array}{rcl} 5x&=&10\\ x&=&2 \end{array}[/math]

Substitusikan x = 2 ke persamaan x − y = 1:

[math]\begin{array}{rcl} 2-y&=&1\\ y&=&1 \end{array}[/math]

Jadi, kasus pertama menghasilkan pasangan (2, 1).

5. Kasus kedua: x − y = −1

Dari persamaan kedua yang sudah difaktorkan:

[math](x-y)(4x+y)=9[/math]

Karena x − y = −1, kita memperoleh:

[math]\begin{array}{rcl} (-1)(4x+y)&=&9\\ 4x+y&=&-9 \end{array}[/math]

Sekarang kita memiliki:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&-1\\ 4x+y&=&-9 \end{array}[/math]

Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan y:

[math]\begin{array}{rcl} 5x&=&-10\\ x&=&-2 \end{array}[/math]

Substitusikan x = −2 ke persamaan x − y = −1:

[math]\begin{array}{rcl} -2-y&=&-1\\ -y&=&1\\ y&=&-1 \end{array}[/math]

Jadi, kasus kedua menghasilkan pasangan (−2, −1).

6. Periksa jawaban

Pemeriksaan pasangan (2, 1):

[math]\begin{array}{rcl} x^2-2xy+y^2 &=&2^2-2(2)(1)+1^2\\[5pt] &=&4-4+1\\ &=&1 \end{array}[/math]

[math]\begin{array}{rcl} 4x^2-3xy-y^2 &=&4(2)^2-3(2)(1)-1^2\\[5pt] &=&16-6-1\\ &=&9 \end{array}[/math]

Kedua persamaan terpenuhi.

Pemeriksaan pasangan (−2, −1):

[math]\begin{array}{rcl} x^2-2xy+y^2 &=&(-2)^2-2(-2)(-1)+(-1)^2\\[5pt] &=&4-4+1\\ &=&1 \end{array}[/math]

[math]\begin{array}{rcl} 4x^2-3xy-y^2 &=&4(-2)^2-3(-2)(-1)-(-1)^2\\[5pt] &=&16-6-1\\ &=&9 \end{array}[/math]

Kedua persamaan juga terpenuhi.

7. Grafik kedua persamaan

Persamaan pertama dapat dipisahkan menjadi dua garis:

[math]\begin{array}{rcl} x-y=1&\Rightarrow&y=x-1\\[5pt] x-y=-1&\Rightarrow&y=x+1 \end{array}[/math]

Persamaan kedua merupakan kurva kuadrat:

[math]4x^2-3xy-y^2=9[/math]

Garis x − y = 1 Garis x − y = −1 Kurva persamaan kedua Titik penyelesaian

Grafik merupakan ilustrasi. Pasangan penyelesaian yang tepat diperoleh melalui perhitungan aljabar, yaitu (2, 1) dan (−2, −1).

Kesimpulan

Kedua pasangan nilai yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah:

[math]\boxed{(x,y)=(2,1)\quad\text{atau}\quad(-2,-1)}[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1), (−2, −1)}.

Penyelesaian Soal 118

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Pemisahan Kasus

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} (x+3y)^2&=&9\\ (x-y)^2&=&1 \end{array}[/math]

Kedua persamaan berbentuk kuadrat sempurna. Kita dapat mengambil akar kuadrat kedua ruas untuk memperoleh dua kemungkinan pada setiap persamaan.

2. Sederhanakan persamaan pertama

Persamaan pertama adalah:

[math](x+3y)^2=9[/math]

Karena akar kuadrat dari 9 adalah 3, maka terdapat dua kemungkinan:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&3\\[5pt] \text{atau}\\[5pt] x+3y&=&-3 \end{array}[/math]

Jadi, persamaan pertama dapat diwakili oleh dua persamaan linear tersebut.

3. Sederhanakan persamaan kedua

Persamaan kedua adalah:

[math](x-y)^2=1[/math]

Karena akar kuadrat dari 1 adalah 1, terdapat dua kemungkinan:

[math]\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\[5pt] \text{atau}\\[5pt] x-y&=&-1 \end{array}[/math]

Sekarang kita mempunyai dua kemungkinan dari persamaan pertama dan dua kemungkinan dari persamaan kedua. Total terdapat empat kombinasi yang harus diperiksa.

4. Kasus pertama

Gunakan pasangan persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&3\\ x-y&=&1 \end{array}[/math]

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} 4y&=&2\\ y&=&\frac{1}{2} \end{array}[/math]

Substitusikan y = 1/2 ke persamaan x − y = 1:

[math]\begin{array}{rcl} x-\frac{1}{2}&=&1\\[5pt] x&=&\frac{3}{2} \end{array}[/math]

Kasus pertama menghasilkan pasangan (3/2, 1/2).

5. Kasus kedua

Gunakan pasangan persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&3\\ x-y&=&-1 \end{array}[/math]

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} 4y&=&4\\ y&=&1 \end{array}[/math]

Substitusikan y = 1 ke persamaan x − y = −1:

[math]\begin{array}{rcl} x-1&=&-1\\ x&=&0 \end{array}[/math]

Kasus kedua menghasilkan pasangan (0, 1).

6. Kasus ketiga

Gunakan pasangan persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&-3\\ x-y&=&1 \end{array}[/math]

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} 4y&=&-4\\ y&=&-1 \end{array}[/math]

Substitusikan y = −1 ke persamaan x − y = 1:

[math]\begin{array}{rcl} x-(-1)&=&1\\ x+1&=&1\\ x&=&0 \end{array}[/math]

Kasus ketiga menghasilkan pasangan (0, −1).

7. Kasus keempat

Gunakan pasangan persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&-3\\ x-y&=&-1 \end{array}[/math]

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:

[math]\begin{array}{rcl} 4y&=&-2\\ y&=&-\frac{1}{2} \end{array}[/math]

Substitusikan y = −1/2 ke persamaan x − y = −1:

[math]\begin{array}{rcl} x+\frac{1}{2}&=&-1\\[5pt] x&=&-\frac{3}{2} \end{array}[/math]

Kasus keempat menghasilkan pasangan (−3/2, −1/2).

8. Periksa jawaban

Untuk pasangan (3/2, 1/2):

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&\frac{3}{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)=3\\[5pt] x-y&=&\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1 \end{array}[/math]

Untuk pasangan (0, 1):

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&0+3(1)=3\\[5pt] x-y&=&0-1=-1 \end{array}[/math]

Untuk pasangan (0, −1):

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&0+3(-1)=-3\\[5pt] x-y&=&0-(-1)=1 \end{array}[/math]

Untuk pasangan (−3/2, −1/2):

[math]\begin{array}{rcl} x+3y&=&-\frac{3}{2}+3\left(-\frac{1}{2}\right)=-3\\[5pt] x-y&=&-\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 \end{array}[/math]

Keempat pasangan memenuhi salah satu kombinasi tanda dari kedua persamaan. Karena itu, semuanya merupakan penyelesaian yang benar.

9. Grafik kedua persamaan

Persamaan pertama menghasilkan dua garis:

[math]\begin{array}{rcl} x+3y=3&\Rightarrow&y=1-\frac{x}{3}\\[5pt] x+3y=-3&\Rightarrow&y=-1-\frac{x}{3} \end{array}[/math]

Persamaan kedua juga menghasilkan dua garis:

[math]\begin{array}{rcl} x-y=1&\Rightarrow&y=x-1\\[5pt] x-y=-1&\Rightarrow&y=x+1 \end{array}[/math]

x y 0 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 (1.5, 0.5) (0, 1) (0, -1) (-1.5, -0.5)

Garis dari persamaan pertama Garis dari persamaan kedua Titik penyelesaian

Setiap titik perpotongan antara satu garis dari persamaan pertama dan satu garis dari persamaan kedua merupakan satu pasangan penyelesaian.

Kesimpulan

Keempat pasangan nilai yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah:

[math]\boxed{ \begin{array}{l} (x,y)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)\\[5pt] (x,y)=(0,1)\\[5pt] (x,y)=(0,-1)\\[5pt] (x,y)=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right) \end{array} }[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya terdiri atas empat pasangan berurutan.

Penyelesaian Soal 119

Sistem Persamaan Dua Variabel — Metode Faktorisasi

1. Diketahui

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan berikut:

[math]\begin{array}{rcl} x^2-3xy-4y^2&=&0\\ 3x^2+5xy-19y^2&=&49 \end{array}[/math]

Kita akan memfaktorkan persamaan pertama untuk memperoleh dua kemungkinan. Selanjutnya, setiap kemungkinan diperiksa menggunakan persamaan kedua.

2. Faktorkan persamaan pertama

Persamaan pertama adalah:

[math]x^2-3xy-4y^2=0[/math]

Kita mencari dua suku yang hasil kalinya −4 dan jumlahnya −3, yaitu −4 dan 1.

[math]\begin{array}{rcl} x^2-4xy+xy-4y^2&=&0\\[5pt] x(x-4y)+y(x-4y)&=&0\\[5pt] (x+y)(x-4y)&=&0 \end{array}[/math]

Karena hasil perkalian kedua faktor sama dengan nol, salah satu faktor harus bernilai nol.

[math]\begin{array}{rcl} x+y&=&0\\ \text{atau}\\ x-4y&=&0 \end{array}[/math]

Jadi, ada dua kemungkinan yang perlu kita periksa.

3. Kasus pertama: x + y = 0

Dari persamaan tersebut, diperoleh:

[math]x=-y[/math]

Substitusikan x = −y ke persamaan kedua:

[math]\begin{array}{rcl} 3x^2+5xy-19y^2&=&49\\[5pt] 3(-y)^2+5(-y)y-19y^2&=&49\\[5pt] 3y^2-5y^2-19y^2&=&49\\[5pt] -21y^2&=&49\\[5pt] y^2&=&-\frac{49}{21}\\[5pt] y^2&=&-\frac{7}{3} \end{array}[/math]

Kuadrat bilangan real tidak mungkin bernilai negatif. Karena itu, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian dalam bilangan real.

[math]\boxed{\text{Tidak ada penyelesaian real untuk kasus ini}}[/math]

4. Kasus kedua: x − 4y = 0

Dari persamaan tersebut, kita memperoleh:

[math]x=4y[/math]

Substitusikan x = 4y ke persamaan kedua:

[math]\begin{array}{rcl} 3x^2+5xy-19y^2&=&49\\[5pt] 3(4y)^2+5(4y)y-19y^2&=&49\\[5pt] 48y^2+20y^2-19y^2&=&49\\[5pt] 49y^2&=&49\\[5pt] y^2&=&1 \end{array}[/math]

Ambil akar kuadrat kedua ruas:

[math]\begin{array}{rcl} y&=&1\\ \text{atau}\\ y&=&-1 \end{array}[/math]

Dengan demikian, terdapat dua kemungkinan nilai y.

5. Tentukan nilai x

Kemungkinan pertama: y = 1

[math]\begin{array}{rcl} x&=&4y\\ x&=&4(1)\\ x&=&4 \end{array}[/math]

Pasangan pertama adalah (4, 1).

Kemungkinan kedua: y = −1

[math]\begin{array}{rcl} x&=&4y\\ x&=&4(-1)\\ x&=&-4 \end{array}[/math]

Pasangan kedua adalah (−4, −1).

6. Periksa jawaban

Pemeriksaan pasangan (4, 1):

[math]\begin{array}{rcl} x^2-3xy-4y^2 &=&4^2-3(4)(1)-4(1)^2\\[5pt] &=&16-12-4\\ &=&0 \end{array}[/math]

[math]\begin{array}{rcl} 3x^2+5xy-19y^2 &=&3(4)^2+5(4)(1)-19(1)^2\\[5pt] &=&48+20-19\\ &=&49 \end{array}[/math]

Kedua persamaan terpenuhi.

Pemeriksaan pasangan (−4, −1):

[math]\begin{array}{rcl} x^2-3xy-4y^2 &=&(-4)^2-3(-4)(-1)-4(-1)^2\\[5pt] &=&16-12-4\\ &=&0 \end{array}[/math]

[math]\begin{array}{rcl} 3x^2+5xy-19y^2 &=&3(-4)^2+5(-4)(-1)-19(-1)^2\\[5pt] &=&48+20-19\\ &=&49 \end{array}[/math]

Kedua persamaan juga terpenuhi.

7. Grafik kedua persamaan

Persamaan pertama dapat dipisahkan menjadi dua garis:

[math]\begin{array}{rcl} x+y=0&\Rightarrow&y=-x\\[5pt] x-4y=0&\Rightarrow&y=\frac{x}{4} \end{array}[/math]

Persamaan kedua merupakan kurva kuadrat:

[math]3x^2+5xy-19y^2=49[/math]

Garis y = −x Garis y = x/4 Kurva persamaan kedua Titik penyelesaian

Grafik bersifat ilustratif. Pasangan penyelesaian yang tepat diperoleh melalui perhitungan aljabar.

Kesimpulan

Pasangan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan adalah:

[math]\boxed{(x,y)=(4,1)\quad\text{atau}\quad(-4,-1)}[/math]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 1), (−4, −1)}.

Pembahasan Soal 120

Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel

1. Soal

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.

[math]\begin{cases}x^2+xy=0\\y^2-xy=6\end{cases}[/math]

2. Faktorkan Persamaan Pertama

Perhatikan persamaan pertama.

[math]x^2+xy=0[/math]

Keluarkan faktor persekutuan x.

[math]x(x+y)=0[/math]

Agar hasil perkalian sama dengan nol, setidaknya salah satu faktornya harus bernilai nol. Dengan demikian, ada dua kemungkinan.

[math]x=0[/math]

atau

[math]x+y=0[/math]

Selanjutnya, kita periksa kedua kemungkinan tersebut dengan mensubstitusikannya ke persamaan kedua.

3. Kasus Pertama: x = 0

Substitusikan x = 0 ke persamaan kedua.

[math]y^2-xy=6[/math]

[math]y^2-(0)y=6[/math]

[math]y^2=6[/math]

Akarkan kedua ruas sehingga diperoleh dua nilai y.

[math]y=\sqrt{6}[/math]

atau

[math]y=-\sqrt{6}[/math]

Karena x = 0, diperoleh dua pasangan penyelesaian.

[math](x,y)=(0,\sqrt{6})[/math]

[math](x,y)=(0,-\sqrt{6})[/math]

4. Kasus Kedua: x + y = 0

Dari persamaan x + y = 0, kita peroleh:

[math]x=-y[/math]

Substitusikan x = −y ke persamaan kedua.

[math]y^2-xy=6[/math]

[math]y^2-(-y)y=6[/math]

[math]y^2+y^2=6[/math]

[math]2y^2=6[/math]

[math]y^2=3[/math]

Akarkan kedua ruas.

[math]y=\sqrt{3}[/math]

atau

[math]y=-\sqrt{3}[/math]

Ingat bahwa x = −y. Jadi, jika y = √3, maka x = −√3. Sebaliknya, jika y = −√3, maka x = √3.

Diperoleh dua pasangan penyelesaian lainnya.

[math](x,y)=(-\sqrt{3},\sqrt{3})[/math]

[math](x,y)=(\sqrt{3},-\sqrt{3})[/math]

5. Hasil Akhir

Dari kedua kasus di atas, diperoleh empat pasangan penyelesaian real.

Himpunan Penyelesaian

[math](0,\sqrt{6})[/math]

[math](0,-\sqrt{6})[/math]

[math](-\sqrt{3},\sqrt{3})[/math]

[math](\sqrt{3},-\sqrt{3})[/math]

6. Pemeriksaan Jawaban

A. Memeriksa solusi (0, √6) dan (0, −√6)

Persamaan pertama:

[math]x^2+xy=0^2+0(y)=0[/math]

Persamaan kedua:

[math]y^2-xy=(\pm\sqrt{6})^2-0=6[/math]

Kedua persamaan terpenuhi.

B. Memeriksa solusi (−√3, √3) dan (√3, −√3)

Pada kedua pasangan tersebut, berlaku x = −y dan y² = 3.

Persamaan pertama:

[math]x^2+xy=y^2-y^2=0[/math]

Persamaan kedua:

[math]y^2-xy=y^2-(-y)y[/math]

[math]=y^2+y^2=2y^2[/math]

[math]=2(3)=6[/math]

Kedua persamaan juga terpenuhi. Jadi, keempat pasangan tersebut benar-benar merupakan penyelesaian sistem.

7. Memahami Grafik

Persamaan pertama dapat difaktorkan menjadi:

[math]x(x+y)=0[/math]

Karena hasil perkaliannya nol, grafik persamaan pertama terdiri dari dua garis lurus:

[math]x=0[/math]

[math]y=-x[/math]

Persamaan kedua, yaitu y² − xy = 6, merupakan kurva nonlinear. Titik potong kurva tersebut dengan kedua garis di atas menghasilkan empat pasangan penyelesaian yang sudah kita hitung.

Catatan grafik: Diagram berikut hanya menampilkan dua garis dari persamaan pertama dan menandai empat titik penyelesaian. Kurva persamaan kedua tidak ditampilkan, sehingga diagram ini merupakan ilustrasi titik solusi, bukan grafik lengkap sistem persamaan.

Garis x = 0 Garis y = −x Titik penyelesaian

Pembahasan Soal 121

Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel

1. Soal

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut.

[math]\begin{cases} x^2-3xy+2y^2=0\\ x^2-xy-y^2=16 \end{cases}[/math]

2. Faktorkan Persamaan Pertama

Perhatikan persamaan pertama.

[math]x^2-3xy+2y^2=0[/math]

Persamaan tersebut merupakan bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan. Kita mencari dua suku yang hasil kalinya menghasilkan 2y² dan jumlahnya menghasilkan −3y.

[math]x^2-xy-2xy+2y^2=0[/math]

Kelompokkan suku-sukunya.

[math]x(x-y)-2y(x-y)=0[/math]

Keluarkan faktor persekutuan.

[math](x-y)(x-2y)=0[/math]

Karena hasil perkalian sama dengan nol, terdapat dua kemungkinan:

[math]x-y=0[/math]

atau

[math]x-2y=0[/math]

Dengan demikian, kita memperoleh dua kasus.

[math]x=y[/math]

[math]x=2y[/math]

3. Kasus Pertama: x = y

Substitusikan x = y ke persamaan kedua.

[math]x^2-xy-y^2=16[/math]

[math]y^2-y(y)-y^2=16[/math]

Sederhanakan persamaan tersebut.

[math]y^2-y^2-y^2=16[/math]

[math]-y^2=16[/math]

[math]y^2=-16[/math]

Untuk bilangan real, kuadrat suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Oleh karena itu, persamaan ini tidak mempunyai solusi real.

Kesimpulan kasus pertama: tidak ada pasangan penyelesaian real untuk x = y.

4. Kasus Kedua: x = 2y

Sekarang substitusikan x = 2y ke persamaan kedua.

[math]x^2-xy-y^2=16[/math]

[math](2y)^2-(2y)y-y^2=16[/math]

Hitung setiap suku.

[math]4y^2-2y^2-y^2=16[/math]

[math]y^2=16[/math]

Akarkan kedua ruas.

[math]y=\sqrt{16}[/math]

atau

[math]y=-\sqrt{16}[/math]

[math]y=4[/math]

atau

[math]y=-4[/math]

Karena x = 2y, kita hitung nilai x untuk masing-masing nilai y.

Jika y = 4:

[math]x=2(4)=8[/math]

Pasangan pertama adalah:

[math](x,y)=(8,4)[/math]

Jika y = −4:

[math]x=2(-4)=-8[/math]

Pasangan kedua adalah:

[math](x,y)=(-8,-4)[/math]

5. Hasil Akhir

Kasus x = y tidak menghasilkan solusi real. Sementara itu, kasus x = 2y menghasilkan dua pasangan penyelesaian.

Himpunan Penyelesaian

[math]\boxed{(x,y)=(8,4)}[/math]

[math]\boxed{(x,y)=(-8,-4)}[/math]

6. Pemeriksaan Jawaban

A. Memeriksa pasangan (8, 4)

Persamaan pertama:

[math]x^2-3xy+2y^2[/math]

[math]=8^2-3(8)(4)+2(4)^2[/math]

[math]=64-96+32=0[/math]

Persamaan kedua:

[math]x^2-xy-y^2[/math]

[math]=8^2-(8)(4)-4^2[/math]

[math]=64-32-16=16[/math]

B. Memeriksa pasangan (−8, −4)

Persamaan pertama:

[math]x^2-3xy+2y^2[/math]

[math]=(-8)^2-3(-8)(-4)+2(-4)^2[/math]

[math]=64-96+32=0[/math]

Persamaan kedua:

[math]x^2-xy-y^2[/math]

[math]=(-8)^2-(-8)(-4)-(-4)^2[/math]

[math]=64-32-16=16[/math]

Kedua pasangan memenuhi kedua persamaan. Jadi, jawaban yang diperoleh sudah benar.

7. Memahami Grafik

Persamaan pertama telah difaktorkan menjadi dua garis lurus.

[math]x=y[/math]

[math]x=2y[/math]

Persamaan kedua membentuk kurva nonlinear. Titik potong kurva ini dengan garis x = y tidak ada pada bidang bilangan real, sedangkan titik potong dengan garis x = 2y berada di koordinat (8, 4) dan (−8, −4).

Diagram berikut menunjukkan kedua garis dari persamaan pertama dan posisi dua titik penyelesaian. Kurva persamaan kedua tidak digambar, sehingga diagram ini hanya ilustrasi garis dan titik solusi.

Garis x = y Garis x = 2y Titik penyelesaian

Pembahasan Soal 122

Syarat agar Sistem Persamaan Mempunyai Tepat Satu Pasangan Penyelesaian

1. Soal

Tentukan syarat agar sistem persamaan berikut mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real.

[math]\begin{cases} y=mx+n\\ x^2+y^2=r^2 \end{cases}[/math]

Konstanta m, n, dan r dianggap sebagai bilangan real. Kita akan mencari hubungan antara ketiga konstanta tersebut.

2. Substitusikan Persamaan Pertama

Diketahui persamaan garis:

[math]y=mx+n[/math]

Substitusikan nilai y ke persamaan kedua.

[math]x^2+y^2=r^2[/math]

[math]x^2+(mx+n)^2=r^2[/math]

Kembangkan bentuk kuadrat pada ruas kiri.

[math](mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2[/math]

Masukkan hasil pengembangan tersebut ke persamaan.

[math]x^2+m^2x^2+2mnx+n^2=r^2[/math]

Gabungkan suku-suku yang sejenis, kemudian pindahkan semua suku ke ruas kiri.

[math](1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2=0[/math]

Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x.

3. Gunakan Diskriminan

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

[math]ax^2+bx+c=0[/math]

Diskriminan digunakan untuk mengetahui jumlah akar real yang dimiliki persamaan kuadrat.

[math]\Delta=b^2-4ac[/math]

Dari persamaan hasil substitusi, diperoleh:

[math]a=1+m^2[/math]

[math]b=2mn[/math]

[math]c=n^2-r^2[/math]

Agar persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar real, diskriminannya harus sama dengan nol.

Syarat tepat satu akar real

[math]\Delta=0[/math]

4. Hitung Diskriminannya

Masukkan nilai a, b, dan c ke rumus diskriminan.

[math]\Delta=(2mn)^2-4(1+m^2)(n^2-r^2)[/math]

Kuadratkan suku pertama.

[math]\Delta=4m^2n^2-4(1+m^2)(n^2-r^2)[/math]

Karena syaratnya adalah diskriminan sama dengan nol, kita memperoleh:

[math]4m^2n^2-4(1+m^2)(n^2-r^2)=0[/math]

Bagi kedua ruas dengan 4.

[math]m^2n^2-(1+m^2)(n^2-r^2)=0[/math]

Kembangkan perkalian pada suku kedua.

[math]m^2n^2-(n^2-r^2)-m^2(n^2-r^2)=0[/math]

[math]m^2n^2-n^2+r^2-m^2n^2+m^2r^2=0[/math]

Suku m²n² saling menghilangkan. Hasilnya:

[math]-n^2+r^2+m^2r^2=0[/math]

Kelompokkan suku yang mengandung r².

[math](1+m^2)r^2-n^2=0[/math]

Pindahkan n² ke ruas kanan.

[math](1+m^2)r^2=n^2[/math]

5. Jawaban Akhir

Dengan demikian, syarat agar sistem persamaan mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real adalah:

Syarat yang Diperoleh

[math]\boxed{n^2=(1+m^2)r^2}[/math]

Hubungan ini berlaku untuk konstanta real m, n, dan r, termasuk ketika r = 0.

6. Memahami Makna Geometris

Persamaan:

[math]x^2+y^2=r^2[/math]

menyatakan lingkaran berpusat di titik asal (0, 0) dengan jari-jari |r|. Sementara itu, persamaan:

[math]y=mx+n[/math]

menyatakan sebuah garis lurus dengan gradien m dan titik potong sumbu y sebesar n.

Agar garis dan lingkaran mempunyai tepat satu titik persekutuan, garis harus menyinggung lingkaran.

Makna penting: persamaan n² = (1 + m²)r² merupakan syarat garis menyinggung lingkaran. Jika syarat tersebut tidak terpenuhi, sistem tidak mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real.

7. Ilustrasi Grafik

Sebagai contoh, ambil m = 1, n = 2, dan r = √2. Persamaan garis dan lingkarannya menjadi:

[math]y=x+2[/math]

[math]x^2+y^2=2[/math]

Pada contoh ini, syarat n² = (1 + m²)r² terpenuhi karena 4 = 2 × 2. Garis menyinggung lingkaran di satu titik.

Lingkaran Garis singgung Titik singgung

Kesimpulan geometris: satu titik singgung berarti sistem mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real.

Pembahasan Soal 123

Syarat agar Sistem Persamaan Mempunyai Tepat Satu Pasangan Penyelesaian Real

1. Soal

Tentukan syarat agar persamaan garis dan parabola berikut mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real.

[math]\begin{cases} ax+by=c\\ y^2=2px,\quad p\ne0 \end{cases}[/math]

Konstanta a, b, c, dan p dianggap sebagai bilangan real, dengan p tidak sama dengan nol.

2. Nyatakan x dalam y

Dari persamaan parabola, kita mempunyai:

[math]y^2=2px[/math]

Karena p tidak sama dengan nol, kedua ruas dapat dibagi dengan 2p.

[math]x=\frac{y^2}{2p}[/math]

Substitusikan nilai x tersebut ke persamaan garis.

[math]ax+by=c[/math]

[math]a\left(\frac{y^2}{2p}\right)+by=c[/math]

Kalikan kedua ruas dengan 2p.

[math]ay^2+2pby=2pc[/math]

Pindahkan semua suku ke ruas kiri.

[math]ay^2+2pby-2pc=0[/math]

Selanjutnya, kita periksa dua kemungkinan, yaitu a tidak sama dengan nol dan a sama dengan nol.

3. Kasus Pertama: a ≠ 0

Jika a tidak sama dengan nol, persamaan yang diperoleh merupakan persamaan kuadrat dalam y.

[math]ay^2+2pby-2pc=0[/math]

Bandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat.

[math]Ay^2+By+C=0[/math]

Koefisiennya adalah:

[math]A=a[/math]

[math]B=2pb[/math]

[math]C=-2pc[/math]

Agar persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar real, diskriminannya harus sama dengan nol.

[math]\Delta=B^2-4AC[/math]

Substitusikan nilai koefisiennya.

[math]\Delta=(2pb)^2-4(a)(-2pc)[/math]

[math]\Delta=4p^2b^2+8apc[/math]

Karena syaratnya diskriminan sama dengan nol, diperoleh:

[math]4p^2b^2+8apc=0[/math]

Bagi kedua ruas dengan 4.

[math]p^2b^2+2apc=0[/math]

Syarat untuk a ≠ 0

[math]\boxed{p^2b^2+2apc=0}[/math]

Jika a tidak sama dengan nol, hubungan tersebut menjamin persamaan kuadrat mempunyai tepat satu akar y yang berbeda. Nilai y itu kemudian menentukan satu nilai x.

4. Kasus Kedua: a = 0

Jika a = 0, persamaan garis menjadi:

[math]by=c[/math]

Kita perlu membedakan dua kemungkinan.

Jika b ≠ 0:

Persamaan garis memberikan satu nilai y.

[math]y=\frac{c}{b}[/math]

Setelah y diketahui, nilai x juga ditentukan secara tunggal oleh persamaan parabola.

[math]x=\frac{y^2}{2p}[/math]

[math]x=\frac{c^2}{2pb^2}[/math]

Jadi, jika a = 0 dan b tidak sama dengan nol, sistem selalu mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real.

Jika b = 0:

Persamaan garis berubah menjadi:

[math]0=c[/math]

Jika c tidak sama dengan nol, persamaan tersebut tidak mungkin terpenuhi sehingga tidak ada penyelesaian.

Jika c = 0, persamaan garis menjadi identitas 0 = 0. Semua titik pada parabola memenuhi sistem, sehingga terdapat tak terhingga banyak pasangan penyelesaian.

Kesimpulan kasus kedua: tepat satu pasangan penyelesaian diperoleh jika a = 0 dan b ≠ 0.

5. Jawaban Akhir

Setelah kedua kasus diperiksa, syarat agar sistem mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real adalah sebagai berikut.

Syarat Umum

Kasus pertama: a ≠ 0

[math]\boxed{p^2b^2+2apc=0}[/math]

Kasus kedua: a = 0

[math]\boxed{b\ne0}[/math]

Dengan kata lain, jawaban lengkapnya adalah:

[math]\boxed{ \begin{cases} p^2b^2+2apc=0,& a\ne0,\\ b\ne0,& a=0. \end{cases}}[/math]

Catatan: Kasus a = 0 tidak boleh diabaikan. Jika hanya menggunakan diskriminan persamaan kuadrat, kita bisa kehilangan kasus ketika persamaan hasil substitusi justru menjadi persamaan linear.

6. Memahami Makna Geometris

Persamaan:

[math]y^2=2px[/math]

menyatakan parabola yang membuka ke kanan jika p positif, dan membuka ke kiri jika p negatif.

Persamaan ax + by = c menyatakan garis lurus jika a dan b tidak keduanya nol.

Agar garis dan parabola mempunyai tepat satu titik persekutuan, garis dapat menyinggung parabola. Namun, ada juga kemungkinan garis horizontal memotong parabola tepat satu kali, yaitu ketika a = 0 dan b tidak sama dengan nol.

Inti pembahasan: jika a tidak sama dengan nol, gunakan diskriminan nol. Jika a = 0, periksa langsung persamaan by = c.

7. Ilustrasi Grafik

Sebagai contoh, ambil a = 1, b = −2, c = −2, dan p = 1. Sistem persamaannya menjadi:

[math]x-2y=-2[/math]

[math]y^2=2x[/math]

Dari persamaan garis, kita peroleh x = 2y − 2. Substitusikan ke persamaan parabola.

[math]y^2=2(2y-2)[/math]

[math]y^2-4y+4=0[/math]

[math](y-2)^2=0[/math]

Maka y = 2 dan x = 2. Garis menyinggung parabola di titik (2, 2).

Parabola Garis Titik singgung

Catatan grafik: grafik merupakan ilustrasi bentuk parabola dan garis singgung. Perhitungan aljabar di atas adalah dasar untuk memastikan titik persekutuannya hanya satu.

Pembahasan Soal 124

Syarat agar Sistem Persamaan Dapat Diselesaikan dalam Bilangan Real

1. Soal

Tentukan syarat agar sistem persamaan berikut dapat diselesaikan dalam bilangan real.

[math]\begin{cases} x+y=p\\ x^2+y^2=q^2 \end{cases}[/math]

Artinya, kita mencari syarat pada konstanta p dan q agar terdapat nilai x dan y yang keduanya merupakan bilangan real.

2. Gunakan Identitas Kuadrat Jumlah

Dari persamaan pertama, diketahui:

[math]x+y=p[/math]

Kuadratkan kedua ruas.

[math](x+y)^2=p^2[/math]

Gunakan identitas kuadrat jumlah.

[math]x^2+2xy+y^2=p^2[/math]

Dari persamaan kedua, kita mengetahui bahwa:

[math]x^2+y^2=q^2[/math]

Substitusikan nilai tersebut ke persamaan hasil pengembangan.

[math]q^2+2xy=p^2[/math]

Pindahkan q² ke ruas kanan.

[math]2xy=p^2-q^2[/math]

Bagi kedua ruas dengan 2.

[math]xy=\frac{p^2-q^2}{2}[/math]

Jadi, kita sudah mengetahui jumlah x dan y serta hasil kali x dan y.

[math]x+y=p[/math]

[math]xy=\frac{p^2-q^2}{2}[/math]

3. Bentuk Persamaan Kuadrat

Jika x dan y merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, persamaan tersebut dapat ditulis:

[math]t^2-(x+y)t+xy=0[/math]

Karena x + y = p dan hasil kali xy = (p² − q²)/2, persamaannya menjadi:

[math]t^2-pt+\frac{p^2-q^2}{2}=0[/math]

Agar nilai x dan y merupakan bilangan real, persamaan kuadrat tersebut harus mempunyai akar-akar real.

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real adalah diskriminannya lebih besar atau sama dengan nol.

[math]\Delta\geq0[/math]

4. Hitung Diskriminan

Untuk persamaan kuadrat berikut:

[math]t^2-pt+\frac{p^2-q^2}{2}=0[/math]

Koefisien-koefisiennya adalah:

[math]a=1,\quad b=-p,\quad c=\frac{p^2-q^2}{2}[/math]

Gunakan rumus diskriminan.

[math]\Delta=b^2-4ac[/math]

[math]\Delta=(-p)^2-4(1) \left(\frac{p^2-q^2}{2}\right)[/math]

Sederhanakan.

[math]\Delta=p^2-2(p^2-q^2)[/math]

[math]\Delta=p^2-2p^2+2q^2[/math]

[math]\Delta=2q^2-p^2[/math]

Agar akar-akarnya real, diskriminan harus memenuhi:

[math]2q^2-p^2\geq0[/math]

Pindahkan p² ke ruas kanan.

[math]2q^2\geq p^2[/math]

5. Jawaban Akhir

Dengan demikian, syarat agar sistem persamaan dapat diselesaikan dalam bilangan real adalah:

Syarat Penyelesaian Real

[math]\boxed{p^2\leq2q^2}[/math]

Syarat ini setara dengan:

[math]\boxed{|p|\leq\sqrt{2}\,|q|}[/math]

Ada tiga kemungkinan berdasarkan nilai diskriminan.

1. Jika diskriminan positif:

[math]p^2<2q^2[/math]

Sistem mempunyai dua pasangan penyelesaian real yang berbeda.

2. Jika diskriminan nol:

[math]p^2=2q^2[/math]

Sistem mempunyai tepat satu pasangan penyelesaian real yang berbeda, yaitu ketika x = y = p/2.

3. Jika diskriminan negatif:

[math]p^2>2q^2[/math]

Sistem tidak mempunyai penyelesaian dalam bilangan real.

6. Bentuk Nilai x dan y

Kita juga dapat menentukan bentuk penyelesaian secara langsung. Karena:

[math]x+y=p[/math]

Dan:

[math](x-y)^2=2(x^2+y^2)-(x+y)^2[/math]

Substitusikan x² + y² = q² dan x + y = p.

[math](x-y)^2=2q^2-p^2[/math]

Dengan mengambil akar, diperoleh:

[math]x-y=\pm\sqrt{2q^2-p^2}[/math]

Gabungkan dengan persamaan x + y = p. Untuk pasangan pertama:

[math]2x=p+\sqrt{2q^2-p^2}[/math]

[math]2y=p-\sqrt{2q^2-p^2}[/math]

Jadi, kedua pasangan dapat dituliskan sebagai:

[math]x=\frac{p+\sqrt{2q^2-p^2}}{2}[/math]

[math]y=\frac{p-\sqrt{2q^2-p^2}}{2}[/math]

Atau x dan y saling bertukar:

[math]x=\frac{p-\sqrt{2q^2-p^2}}{2}[/math]

[math]y=\frac{p+\sqrt{2q^2-p^2}}{2}[/math]

Catatan: kedua bentuk di atas merupakan pasangan penyelesaian real apabila p² ≤ 2q². Jika kedua tanda akar menghasilkan nilai yang sama, kedua pasangan tersebut menyatu menjadi satu pasangan saja.

7. Kesimpulan

Agar sistem persamaan:

[math]\begin{cases} x+y=p\\ x^2+y^2=q^2 \end{cases}[/math]

dapat diselesaikan dalam bilangan real, nilai di dalam akar harus tidak negatif.

Jawaban Soal 124

[math]\boxed{p^2\leq2q^2}[/math]

Itulah syarat yang diperlukan dan cukup agar sistem mempunyai setidaknya satu pasangan penyelesaian real.

Pembahasan Soal 125

Syarat agar Sistem Persamaan Mempunyai Penyelesaian Real

1. Soal

Tentukan syarat agar sistem persamaan berikut dapat diselesaikan dalam bilangan real.

[math]\begin{cases} x+y=a\\ xy=b^2 \end{cases}[/math]

Kita mencari hubungan antara konstanta a dan b agar terdapat nilai x dan y yang merupakan bilangan real.

2. Bentuk Persamaan Kuadrat

Diketahui:

[math]x+y=a[/math]

[math]xy=b^2[/math]

Jika x dan y merupakan akar-akar persamaan kuadrat, bentuk persamaannya dapat ditulis:

[math]t^2-(x+y)t+xy=0[/math]

Substitusikan jumlah dan hasil kali x serta y.

[math]t^2-at+b^2=0[/math]

Agar x dan y merupakan bilangan real, persamaan kuadrat tersebut harus mempunyai akar-akar real.

3. Gunakan Diskriminan

Untuk persamaan kuadrat:

[math]t^2-at+b^2=0[/math]

koefisien-koefisiennya adalah:

[math]A=1,\quad B=-a,\quad C=b^2[/math]

Rumus diskriminan:

[math]\Delta=B^2-4AC[/math]

Substitusikan nilai koefisien.

[math]\Delta=(-a)^2-4(1)(b^2)[/math]

[math]\Delta=a^2-4b^2[/math]

Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real, diskriminannya harus lebih besar atau sama dengan nol.

[math]\Delta\geq0[/math]

[math]a^2-4b^2\geq0[/math]

[math]a^2\geq4b^2[/math]

4. Sederhanakan Syarat

Dari hasil sebelumnya:

[math]a^2\geq4b^2[/math]

Kedua ruas merupakan kuadrat bilangan real. Dengan mengambil akar, kita mendapatkan:

[math]|a|\geq2|b|[/math]

Syarat tersebut juga dapat ditulis sebagai:

[math]a\geq2|b|[/math]

atau

[math]a\leq-2|b|[/math]

Catatan: tanda nilai mutlak diperlukan karena a dan b dapat berupa bilangan positif, negatif, atau nol.

5. Jawaban Akhir

Jadi, agar sistem persamaan mempunyai setidaknya satu pasangan penyelesaian real, syaratnya adalah:

Syarat Penyelesaian Real

[math]\boxed{a^2\geq4b^2}[/math]

Atau, dalam bentuk nilai mutlak:

[math]\boxed{|a|\geq2|b|}[/math]

6. Berapa Banyak Pasangan Penyelesaiannya?

Selain menentukan apakah penyelesaian real ada, diskriminan juga menunjukkan jumlah pasangan penyelesaian yang berbeda.

Jika diskriminan positif:

[math]a^2>4b^2[/math]

Terdapat dua pasangan penyelesaian real yang berbeda.

Jika diskriminan sama dengan nol:

[math]a^2=4b^2[/math]

Terdapat tepat satu pasangan penyelesaian real yang berbeda, yaitu x = y = a/2.

Jika diskriminan negatif:

[math]a^2<4b^2[/math]

Tidak ada pasangan penyelesaian real.

Perlu diingat: jika b = 0 dan a tidak sama dengan nol, pasangan penyelesaiannya adalah (a, 0) dan (0, a), sehingga tetap ada dua pasangan berbeda. Jika a = b = 0, hanya ada satu pasangan, yaitu (0, 0).

7. Bentuk Nilai x dan y

Nilai x dan y dapat diperoleh dari rumus akar persamaan kuadrat.

[math]t=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4b^2}}{2}[/math]

Dengan demikian, pasangan penyelesaiannya adalah:

[math]x=\frac{a+\sqrt{a^2-4b^2}}{2}[/math]

[math]y=\frac{a-\sqrt{a^2-4b^2}}{2}[/math]

Atau x dan y saling bertukar.

[math]x=\frac{a-\sqrt{a^2-4b^2}}{2}[/math]

[math]y=\frac{a+\sqrt{a^2-4b^2}}{2}[/math]

Rumus tersebut memberikan bilangan real jika dan hanya jika a² − 4b² tidak negatif.

8. Kesimpulan

Jawaban Soal 125

[math]\boxed{a^2\geq4b^2}[/math]

[math]\boxed{|a|\geq2|b|}[/math]

Itulah syarat perlu dan cukup agar sistem persamaan x + y = a dan xy = b² mempunyai penyelesaian dalam bilangan real.