Penyelesaian Soal-soal Aljabar CJ Alders: 36 Ulangan Soal 13

Matematika SMA·

Penyelesaian Soal Persamaan Kuadrat dengan Akar Kembar

SOAL

Persamaan pangkat dua berikut mempunyai akar kembar. Hitunglah nilai \(a\) dan akar tersebut!

\[ ax^2-(2a-3)x+(a+6)=0 \]

Langkah 1 — Gunakan Syarat Akar Kembar

Persamaan kuadrat umum berbentuk \(Ax^2+Bx+C=0\) mempunyai akar kembar apabila diskriminannya sama dengan nol.

\[ D=B^2-4AC=0 \]

Pada persamaan \(ax^2-(2a-3)x+(a+6)=0\), diperoleh:

\[ A=a,\quad B=-(2a-3),\quad C=a+6 \]

Karena \(B=3-2a\), substitusikan koefisien tersebut ke dalam rumus diskriminan:

\[ (3-2a)^2-4a(a+6)=0 \]

Langkah 2 — Uraikan dan Sederhanakan

Uraikan bentuk kuadrat berikut:

\[ (3-2a)^2=9-12a+4a^2 \]

Masukkan hasilnya ke persamaan diskriminan:

\[ 9-12a+4a^2-4a(a+6)=0 \] \[ 9-12a+4a^2-4a^2-24a=0 \]

Suku \(4a^2\) dan \(-4a^2\) saling menghilangkan. Dengan demikian:

\[ 9-36a=0 \] \[ 36a=9 \] \[ \boxed{a=\frac14} \]

Langkah 3 — Tentukan Akar Kembarnya

Setelah memperoleh \(a=\frac14\), substitusikan nilai tersebut ke persamaan awal:

\[ \frac14x^2- \left(2\cdot\frac14-3\right)x+ \left(\frac14+6\right)=0 \]

Sederhanakan setiap koefisien:

\[ \frac14x^2+\frac52x+\frac{25}{4}=0 \]

Kalikan seluruh persamaan dengan 4:

\[ x^2+10x+25=0 \]

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

\[ (x+5)^2=0 \] \[ x+5=0 \] \[ \boxed{x=-5} \]
Ingat: Akar kembar berarti kedua akar mempunyai nilai yang sama. Jadi, \(x_1=x_2=-5\).

Jawaban Akhir

Nilai parameter dan akar kembar yang diperoleh adalah:

\[ \boxed{a=\frac14} \] \[ \boxed{x_1=x_2=-5} \]

Pemeriksaan Jawaban

Periksa kembali nilai diskriminan setelah \(a=\frac14\).

\[ A=\frac14,\quad B=\frac52,\quad C=\frac{25}{4} \]
\[ D=B^2-4AC \] \[ D=\left(\frac52\right)^2 -4\left(\frac14\right)\left(\frac{25}{4}\right) \]
\[ D=\frac{25}{4}-\frac{25}{4}=0 \]

Terbukti bahwa diskriminan sama dengan nol. Jadi, persamaan memiliki akar kembar \(x=-5\) untuk nilai \(a=\frac14\).

Baca Juga  Penyelesaian Soal-Soal Aljabar CJ Alders: 36 - Ulangan

Pos Terkait

  • Penyelesaian Soal-soal Aljabar CJ Alders: 36 Ulangan Soal 11

    Penyelesaian Soal Persamaan Kuadrat: Menentukan Parameter dan Akar Lainnya SOAL Salah satu akar persamaan \(x^2+2ax+2a=1\) adalah \(x=5\). Hitunglah nilai \(a\) dan akar yang lain! \[ x^2+2ax+2a=1 \] Langkah 1 — Tentukan Nilai \(a\) Diketahui bahwa salah satu akar persamaan adalah \(x=5\). Untuk menentukan nilai \(a\), substitusikan \(x=5\) ke dalam persamaan awal. \[ x^2+2ax+2a=1 \] \[ …

  • Penyelesaian Soal-soal Aljabar CJ Alders: 36 Ulangan Soal 10

    Penyelesaian Soal: Tiga Bilangan Bulat Berurutan pada Segitiga Siku-Siku SOAL Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku merupakan 3 bilangan bulat yang berurutan. Hitunglah bilangan-bilangan tersebut! Langkah 1 — Misalkan Panjang Sisi-Sisinya Karena ketiga sisi merupakan bilangan bulat berurutan, misalkan panjang sisi-sisinya adalah: \[ x,\quad x+1,\quad x+2 \] Sisi terpanjang adalah \(x+2\). Pada segitiga siku-siku, sisi terpanjang …

  • Penyelesaian Soal-Soal Aljabar CJ Alders: 36 – Ulangan

    MATEMATIKA SMA · GEOMETRI ANALITIK Persamaan Garis dan Panjang Sisi Segitiga ABC Pembahasan lengkap menentukan persamaan ketiga sisi segitiga dan menghitung panjang setiap sisi menggunakan koordinat Kartesius. Soal 1 Diketahui sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut sebagai berikut: A(0, 1) B(3, 4) C(3, −1) Tentukan: Persamaan garis sisi AB, BC, dan CA. Panjang sisi …

  • Soal Penyelesaian Aljabar CJ Alders: Sistem Persamaan, Soal 110 – 125

    Soal Penyelesaian Aljabar CJ Alders: Sistem Persamaan, Soal 110 – 125

    MATEMATIKA · PEMBAHASAN Soal Nomor 110 Sistem persamaan dua variabel · Metode substitusi dan grafik 1 Diketahui Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut. [math]\begin{array}{l} x=2y\\ x^2+2y^2=36 \end{array}[/math] 2 Menentukan Nilai y Dari persamaan pertama, diperoleh: [math]\begin{array}{l} x=2y \end{array}[/math] Substitusikan x = 2y ke persamaan kedua. [math]\begin{array}{l} x^2+2y^2=36\\ (2y)^2+2y^2=36\\ 4y^2+2y^2=36\\ 6y^2=36\\ y^2=\dfrac{36}{6}\\ …

  • Aljabar CJ Alders: Dalil Sisa

    Soal 1 — Menentukan Sisa Pembagian dengan Teorema Sisa SOAL 1 Tentukan sisa pembagian polinomial berikut: \[ (3x^5-5x-6):(x-1) \] Langkah 1 — Pahami Teorema Sisa Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suatu polinomial \(f(x)\) dibagi oleh \(x-a\), maka sisa pembagiannya adalah \(f(a)\). \[ \boxed{\text{Sisa}=f(a)} \] Pada soal ini, polinomial yang akan dibagi adalah: \[ f(x)=3x^5-5x-6 \] …

0 0 votes
Article Rating
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Copyright © 2026 Belajar... Tumbuh... Berbagi
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x