Persamaan Garis dan Panjang Sisi Segitiga ABC
Pembahasan lengkap menentukan persamaan ketiga sisi segitiga dan menghitung panjang setiap sisi menggunakan koordinat Kartesius.
Soal 1
Diketahui sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut sebagai berikut:
Tentukan:
- Persamaan garis sisi AB, BC, dan CA.
- Panjang sisi AB, BC, dan CA.
Ilustrasi Grafik Segitiga ABC
Perhatikan posisi ketiga titik pada bidang koordinat. Titik B dan C memiliki koordinat x yang sama, sehingga sisi BC merupakan garis vertikal.
Gambar 1. Segitiga ABC pada bidang koordinat Kartesius.
A. Menentukan Persamaan Sisi-Sisi Segitiga
1. Persamaan garis AB
Garis AB melalui titik A(0, 1) dan B(3, 4). Gunakan rumus persamaan garis melalui dua titik:
Substitusikan koordinat A dan B:
Dengan demikian:
Dalam bentuk umum \(ax+by+c=0\):
2. Persamaan garis BC
Garis BC melalui titik B(3, 4) dan C(3, −1). Kedua titik mempunyai koordinat x yang sama, yaitu 3.
Maka persamaan garis BC adalah:
Dalam bentuk umum:
3. Persamaan garis CA
Garis CA melalui titik C(3, −1) dan A(0, 1). Gunakan rumus persamaan garis melalui dua titik.
Substitusikan koordinat C dan A:
Kalikan kedua ruas dengan 3:
Pindahkan semua suku ke ruas kiri:
Jadi, persamaan garis CA adalah:
Dalam bentuk eksplisit:
B. Menghitung Panjang Sisi-Sisi Segitiga
Panjang sisi segitiga merupakan jarak antara dua titik pada bidang koordinat. Rumus jarak dua titik adalah:
1. Panjang sisi AB
Diketahui A(0, 1) dan B(3, 4).
Sederhanakan bentuk akar:
2. Panjang sisi BC
Diketahui B(3, 4) dan C(3, −1).
Jadi:
3. Panjang sisi CA
Diketahui C(3, −1) dan A(0, 1).
Dengan demikian:
C. Ringkasan Jawaban
Berikut rangkuman persamaan garis dan panjang ketiga sisi segitiga ABC.
| Sisi | Persamaan garis | Panjang sisi |
|---|---|---|
| AB | \(x-y+1=0\) | \(3\sqrt{2}\approx4{,}24\) |
| BC | \(x-3=0\) | 5 satuan |
| CA | \(2x+3y-3=0\) | \(\sqrt{13}\approx3{,}61\) |
Kesimpulan
Persamaan ketiga sisi segitiga ABC ditentukan berdasarkan koordinat titik-titik sudutnya. Panjang setiap sisi dihitung menggunakan rumus jarak dua titik.
Persamaan sisi AB: \(x-y+1=0\)
Persamaan sisi BC: \(x-3=0\)
Persamaan sisi CA: \(2x+3y-3=0\)
Panjang AB: \(3\sqrt{2}\approx4{,}24\) satuan.
Panjang BC: \(5\) satuan.
Panjang CA: \(\sqrt{13}\approx3{,}61\) satuan.
Pencerminan Persamaan Garis terhadap Sumbu X dan Sumbu Y
Memahami perubahan persamaan garis melalui pencerminan pada bidang koordinat Kartesius, lengkap dengan ilustrasi grafik dan langkah penyelesaiannya.
Soal 2
Tentukan persamaan garis yang merupakan hasil pencerminan garis berikut terhadap:
- Sumbu X.
- Sumbu Y.
Memahami Aturan Pencerminan
Pencerminan mengubah posisi titik terhadap suatu sumbu. Perhatikan koordinat titik sebelum dan sesudah dicerminkan.
Koordinat x tetap, y berubah tanda.
Koordinat y tetap, x berubah tanda.
Ilustrasi Grafik Pencerminan
Untuk mempermudah pemahaman, kita gunakan contoh garis \(y=2x+3\). Grafik berikut membandingkan garis asli dengan bayangannya terhadap kedua sumbu.
Gambar 1. Perbandingan garis asli dan hasil pencerminannya.
A. Pencerminan terhadap Sumbu X
Langkah 1 — Tuliskan persamaan awal
Langkah 2 — Gunakan aturan pencerminan
Pencerminan terhadap sumbu X mengikuti aturan \((x,y)\rightarrow(x,-y)\). Dengan demikian, variabel y pada persamaan awal diganti dengan −y.
Langkah 3 — Sederhanakan
Kalikan kedua ruas dengan −1:
Jawaban A
Persamaan garis hasil pencerminan terhadap sumbu X adalah:B. Pencerminan terhadap Sumbu Y
Langkah 1 — Tuliskan persamaan awal
Langkah 2 — Gunakan aturan pencerminan
Pencerminan terhadap sumbu Y mengikuti aturan \((x,y)\rightarrow(-x,y)\). Oleh karena itu, variabel x diganti dengan −x.
Langkah 3 — Sederhanakan
Jawaban B
Persamaan garis hasil pencerminan terhadap sumbu Y adalah:Contoh Penerapan
Misalkan diketahui garis:
1. Dicerminkan terhadap sumbu X
Ubah y menjadi −y:
Kalikan kedua ruas dengan −1:
2. Dicerminkan terhadap sumbu Y
Ubah x menjadi −x:
Sederhanakan:
Rangkuman Jawaban
| Pencerminan | Aturan koordinat | Persamaan bayangan |
|---|---|---|
| Sumbu X | \((x,y)\to(x,-y)\) | \(y=-mx-n\) |
| Sumbu Y | \((x,y)\to(-x,y)\) | \(y=-mx+n\) |
Kesimpulan
Untuk menentukan persamaan garis hasil pencerminan, perhatikan koordinat mana yang berubah tanda.
Terhadap sumbu X: \(\boxed{y=-mx-n}\)
Terhadap sumbu Y: \(\boxed{y=-mx+n}\)
Kedua aturan tersebut dapat digunakan untuk berbagai nilai gradien \(m\) dan konstanta \(n\).
