Soal 52: Menggambar Grafik Parabola dalam Sistem Koordinat Kartesian (t, d)
Pembahasan lengkap persamaan kuadrat, tabel nilai, titik puncak, sumbu simetri, dan ilustrasi grafik parabola langkah demi langkah.
Persamaan di atas merupakan persamaan kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola. Untuk menggambarnya, kita dapat menghitung beberapa pasangan nilai \((t,d)\), menempatkannya pada bidang koordinat, lalu menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang halus.
Grafik \(d=t^2+2t\)
Langkah 1 — Membuat tabel nilai
Pilih beberapa nilai \(t\), kemudian substitusikan ke persamaan \(d=t^2+2t\).
| Nilai \(t\) | Perhitungan \(d=t^2+2t\) | Nilai \(d\) | Titik \((t,d)\) |
|---|---|---|---|
| -4 | \(16-8\) | 8 | \((-4,8)\) |
| -3 | \(9-6\) | 3 | \((-3,3)\) |
| -2 | \(4-4\) | 0 | \((-2,0)\) |
| -1 | \(1-2\) | -1 | \((-1,-1)\) |
| 0 | \(0+0\) | 0 | \((0,0)\) |
| 1 | \(1+2\) | 3 | \((1,3)\) |
| 2 | \(4+4\) | 8 | \((2,8)\) |
Langkah 2 — Menentukan titik puncak dan sumbu simetri
Agar lebih mudah mengenali bentuk parabola, persamaan dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk \(d=(t+1)^2-1\) menunjukkan bahwa titik puncak parabola berada di \((-1,-1)\). Karena koefisien \(t^2\) positif, parabola terbuka ke atas.
Langkah 3 — Menggambar grafik
Plot seluruh titik dari tabel pada bidang koordinat. Setelah itu, hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus yang simetris terhadap garis \(t=-1\).
Ilustrasi Grafik A
Parabola terbuka ke atasGrafik menunjukkan titik puncak di \((-1,-1)\). Kurva menanjak ke kedua sisi dari titik puncak dan simetris terhadap garis vertikal \(t=-1\).
Grafik \(d=-5t^2+20t+10\)
Langkah 1 — Membuat tabel nilai
Substitusikan beberapa nilai \(t\) ke dalam persamaan \(d=-5t^2+20t+10\).
| Nilai \(t\) | Perhitungan \(d=-5t^2+20t+10\) | Nilai \(d\) | Titik \((t,d)\) |
|---|---|---|---|
| -1 | \(-5-20+10\) | -15 | \((-1,-15)\) |
| 0 | \(10\) | 10 | \((0,10)\) |
| 1 | \(-5+20+10\) | 25 | \((1,25)\) |
| 2 | \(-20+40+10\) | 30 | \((2,30)\) |
| 3 | \(-45+60+10\) | 25 | \((3,25)\) |
| 4 | \(-80+80+10\) | 10 | \((4,10)\) |
| 5 | \(-125+100+10\) | -15 | \((5,-15)\) |
Perhatikan bahwa nilai \(d\) meningkat dari \(t=-1\) hingga \(t=2\), kemudian menurun setelah \(t=2\). Hal ini menunjukkan adanya titik maksimum.
Langkah 2 — Menentukan titik puncak dan sumbu simetri
Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk \(d=-5(t-2)^2+30\) menunjukkan titik puncak \((2,30)\). Karena koefisien kuadratnya negatif, parabola terbuka ke bawah.
Langkah 3 — Menentukan titik potong dengan sumbu
a. Titik potong dengan sumbu \(d\)
Sumbu \(d\) merupakan garis \(t=0\). Substitusikan \(t=0\):
Jadi, grafik memotong sumbu \(d\) di titik \((0,10)\).
b. Titik potong dengan sumbu \(t\)
Pada sumbu \(t\), nilai \(d=0\). Maka:
Dengan \(\sqrt{6}\approx2{,}449\), diperoleh:
- \(t\approx-0{,}449\), sehingga titik potong pertama \((-0{,}449,0)\).
- \(t\approx4{,}449\), sehingga titik potong kedua \((4{,}449,0)\).
Langkah 4 — Menggambar grafik
Plot titik-titik dari tabel, terutama titik puncak \((2,30)\), titik \((0,10)\), dan \((4,10)\). Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva parabola yang terbuka ke bawah.
Ilustrasi Grafik B
Parabola terbuka ke bawahParabola mencapai nilai tertinggi di titik \((2,30)\). Titik \((0,10)\) dan \((4,10)\) berada pada ketinggian yang sama karena simetris terhadap garis \(t=2\).
Rangkuman Jawaban Soal 52
| Sifat | Grafik A | Grafik B |
|---|---|---|
| Persamaan | \(d=t^2+2t\) | \(d=-5t^2+20t+10\) |
| Bentuk grafik | Parabola | Parabola |
| Arah terbuka | Ke atas | Ke bawah |
| Titik puncak | \((-1,-1)\) | \((2,30)\) |
| Sumbu simetri | \(t=-1\) | \(t=2\) |
| Nilai ekstrem | Minimum \(-1\) | Maksimum \(30\) |
Cara menggambar secara manual
- Buat sumbu horizontal \(t\) dan sumbu vertikal \(d\).
- Tentukan skala yang sesuai untuk masing-masing sumbu.
- Plot titik-titik koordinat berdasarkan tabel nilai.
- Tandai titik puncak dan sumbu simetri setiap parabola.
- Hubungkan titik-titik dengan kurva halus dan simetris.
Intinya: koefisien \(t^2\) yang positif menghasilkan parabola terbuka ke atas, sedangkan koefisien \(t^2\) yang negatif menghasilkan parabola terbuka ke bawah.
