Soal 37: Batas Percepatan Kendaraan agar Benda Tidak Slip
Pada gambar, massa benda A dan B masing-masing 2 kg dan 4 kg. Koefisien gesek antara benda A dan B terhadap bidang persinggungannya masing-masing adalah \(\frac{1}{2}\) dan \(\frac{1}{4}\).
Tentukan batas-batas percepatan kendaraan agar benda tidak slip (menggeser) terhadap bidang-bidang kendaraan tersebut.
Diketahui:- Massa benda A: \(m_A=2\ \text{kg}\)
- Massa benda B: \(m_B=4\ \text{kg}\)
- Koefisien gesek benda A: \(\mu_A=\frac{1}{2}\)
- Koefisien gesek benda B: \(\mu_B=\frac{1}{4}\)
- Percepatan gravitasi: \(g=10\ \text{m/s}^2\)
Batas percepatan kendaraan, yaitu \(a_{\min}\) dan \(a_{\max}\).
Ilustrasi Sistem Dua Balok
Ketika kendaraan dipercepat ke arah kanan, balok A terdorong oleh gaya gesek dari lantai, sedangkan balok B mendapat gaya normal dari dinding kendaraan. Gaya gesek pada dinding mencegah balok B meluncur ke bawah.
Ada dua kondisi batas yang harus diperiksa:
- Percepatan maksimum: balok B tepat akan bergerak ke atas.
- Percepatan minimum: balok B tepat akan bergerak ke bawah.
Pada kondisi ini, benda B tepat akan bergerak ke atas. Oleh karena itu, gaya gesek antara B dan dinding mengarah ke bawah.
A. Meninjau Benda B
Dalam arah horizontal, gaya normal dinding menjadi resultan gaya yang mempercepat benda B bersama kendaraan.
Karena benda B tepat akan bergerak ke atas, gaya gesek maksimum arahnya ke bawah:
Benda B belum mengalami percepatan vertikal. Dengan demikian, jumlah gaya vertikal sama dengan nol.
B. Meninjau Benda A
Benda A bergerak bersama kendaraan. Pada kondisi percepatan maksimum, gaya gesek lantai pada A mengarah ke kanan, searah dengan gaya tegangan tali \(T\).
Gaya gesek maksimum pada benda A adalah:
Berdasarkan Hukum II Newton dalam arah horizontal:
C. Menyelesaikan Persamaan
Dari persamaan (1) dan (2):
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
Jadi, percepatan maksimum kendaraan agar benda B tidak slip ke atas adalah \(50\ \text{m/s}^2\).
Pada kondisi ini, benda B tepat akan bergerak ke bawah. Karena gaya gesek selalu melawan kecenderungan gerak, gaya gesek pada B sekarang mengarah ke atas.
A. Meninjau Benda B
Gaya normal tetap memenuhi persamaan:
Gaya gesek maksimum pada dinding adalah:
Karena benda B belum bergerak ke arah vertikal, jumlah gaya vertikal sama dengan nol.
B. Meninjau Benda A
Pada kondisi percepatan minimum, gaya gesek lantai pada A mengarah ke kiri, berlawanan dengan tegangan tali.
Gaya gesek maksimum pada benda A tetap sebesar:
Berdasarkan Hukum II Newton:
C. Menyelesaikan Persamaan
Dari persamaan (1) dan (2):
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
Jadi, percepatan minimum kendaraan agar benda B tidak slip ke bawah adalah \(10\ \text{m/s}^2\).
Kesimpulan
Dari kedua kondisi batas yang telah dihitung, diperoleh:
Percepatan minimum:
\[ a_{\min}=10\ \text{m/s}^2 \]Percepatan maksimum:
\[ a_{\max}=50\ \text{m/s}^2 \]Batas percepatan kendaraan:
\[ \boxed{10\leq a\leq50\ \text{m/s}^2} \]Dengan demikian, agar benda A dan B tidak slip terhadap bidang persinggungannya, percepatan kendaraan harus berada di antara \(10\ \text{m/s}^2\) dan \(50\ \text{m/s}^2\), termasuk kedua nilai batas tersebut dalam model ideal dengan gesekan statis maksimum.
